UN 353MP10 - successione di Fibonacci -

La successione di Fibonacci è una sequenza di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F₀:= 0 ed F₁:= 1, e chiedendo che per ogni successivo sia F_n := F_n-1 + F_n-2. Il termine F₀ viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è F₁:= 1.

La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci e i termini di questa successione sono chiamati numeri di Fibonacci. L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli: si assume che ogni coniglio impieghi un mese prima di diventare fertile e che ogni coppia di conigli fertili produca una coppia di figli al mese; così se partiamo con una singola coppia dopo un mese avremo due coppie di cui una sola fertile, nel mese seguente avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito, di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie, in questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci.

I primi 41 numeri di Fibonacci sono:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (=F₁₀),
89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 (=F₂₀),
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040 (=F₃₀),
1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986,102334155 (=F₄₀)

CURIOSITA':

Molti degli "avvistamenti" della serie di Fibonacci sono un po' tirati per i capelli: lo rivelano Gael Mariani e Martin Scott dell'Università di Warwick, con un articolo su "New Scientist" del settembre 2005.

• Per motivi legati allo sviluppo dei fiori, il numero di petali di molti di essi è un numero di Fibonacci. Per esempio il giglio ha 3 petali, i ranuncoli ne hanno 5, la cicoria 21, la margherita spesso 34 o 55; la testa dei girasoli è costituita da due serie di spirali, una in un senso ed una in un altro. Il numero di spirali di senso diverso differisce per 21 e 34, 34 e 55, 55 e 89, o 89 e 144 semi e lo stesso avviene per le pigne, per le conchiglie, per l'Ananas.

• Il nostro cervello ha una particolare attitudine a riconoscere nelle onde sonore la serie di Fibonacci, ed è per questo motivo che nel mondo della musica vi è una forte ricorrenza di questi numeri; basti pensare ad un pianoforte che presenta ottave da otto tasti bianchi e 5 neri che generano quindi 13 note; inoltre la prima, la terza e la quinta creano la base maggiore di tutti gli accordi e tra di loro vi è una separazione di 2 toni. Non è quindi una coincidenza che molti strumenti musicali siano costruiti seguendo le proporzioni della serie di Fibonacci.

• La Successione di Fibonacci è rappresentata in un'installazione luminosa di Mario Merz (Il volo dei numeri), che caratterizza una delle fiancate della Mole Antonelliana di Torino.

UN 353MP10 - destino ultimo dell'universo -

Fino a tempi piuttosto recenti, anche la visione scientifica dell'Universo era quella di un'esistenza eterna e senza cambiamenti. Dopo la scoperta di un Universo in espansione ad opera di Edwin Hubble all'inizio del XX secolo, la nozione di un inizio e, di conseguenza, di una fine fu all'improvviso soggetta all'investigazione scientifica.

Le teorie possono essere divise in tre gruppi principali:

• che, nonostante le osservazioni, l'Universo è eterno come prima si pensava: la teoria dello stato stazionario e l'Universo oscillante
• che l'Universo ha avuto un inizio, ma non avrà una fine vera e propria: la morte termica dell'Universo e il Big Rip (Grande Strappo)
• che l'Universo ha avuto un inizio, ed avrà una fine ben definita: il Big Crunch.

Il primo gruppo non è discusso in questo articolo, perché nega l'idea stessa di una fine dell'Universo. In queste teorie, qualche tipo di attività significativa può durare per sempre.

Tutte le teorie devono conciliarsi con la relatività generale, che fornisce uno sfondo teorico comune per le speculazioni cosmologiche. La maggior parte di queste teorie sono soluzioni delle equazioni della relatività generale, cambiando parametri come la densità media, la costante cosmologica, e così via.

• Universo chiuso

Se Ω>1, la geometria dello spazio è chiusa come la superficie di una sfera. La somma degli angoli di un triangolo è maggiore di 180 gradi e non esistono rette parallele; tutte le rette si incontrano ad un certo punto. La geometria di questo universo è, su larga scala, ellittica.

In un universo chiuso, mancando l'effetto repulsivo dell'energia oscura, la gravità fermerebbe l'espansione dell'universo, che inizierebbe quindi a collassare in un'unica singolarità (Big Crunch) analoga al Big Bang. Ad ogni modo, se l'universo contiene una grande massa di energia oscura (come suggerito da recenti scoperte), l'espansione può continuare indefinitamente - anche se Ω>1.

• Universo aperto

Se Ω<1,>

Anche senza energia oscura, un universo curvo negativamente si espande indefinitamente, rallentando di poco il suo moto a causa della forza di gravità. Con l'energia oscura l'espansione non solo è continua, ma è pure in accelerazione. Le possibilità circa il destino ultimo di un universo aperto sono o la morte termica, o il Big Freeze, o il Big Rip, in cui l'accelerazione provocata dall'energia oscura diventa così forte che supera gli effetti delle forze gravitazionale, elettromagnetica e nucleare debole.

• Universo piatto

Se la densità media dell'universo è esattamente uguale alla densità critica, ovvero Ω=1, allora la geometria dell'universo è piatta: come nella geometria euclidea la somma degli angoli di un triagolo è di 180 gradi, e le parallele non si incontrano mai.

Senza energia oscura, un universo piatto si espande per sempre ad un ritmo decrescente, raggiungendo asintoticamente lo zero. In presenza di energia oscura invece, l'espansione rallenta inizialmente, ma aumenta in seguito. Il destino ultimo di un universo piatto è simile a quello di un universo aperto: la morte termica, il Big Freeze o il Big Rip. La maggior parte dei dati astrofisici sono interpretati come parte di un universo piatto.

UN 353MP10 - la legge di murphy -

La Legge di Murphy è un detto popolare nella cultura occidentale; approssimativamente dice che in un sistema tecnologico:

se ci sono due o più modi di fare una cosa,
e uno di questi modi può condurre a una catastrofe,
allora qualcuno lo farà

Dunque era un principio di design difensivo: anticipare gli errori che l'utente finale sarà propenso a fare. Ad esempio nessun designer competente farebbe una presa con due poli simmetrici etichettata "Questo lato in alto"; se ha importanza la direzione nella quale va inserita allora il design dovrebbe essere asimmetrico in modo che nessuno possa sbagliare (il cosiddetto "Design a prova di cretino").

La storia

Edward A. Murphy Jr. era uno degli ingegneri degli esperimenti con razzo-su-rotaia fatti dalla U.S. Air Force nel 1949 per testare la tolleranza del corpo umano all'accelerazione (USAF project MX981). Un esperimento prevedeva un set di 16 accelerometri montati su diverse parti del corpo del soggetto. C'erano due maniere in cui ciascun sensore poteva essere incollato al suo supporto, e metodicamente qualcuno li montava tutti e 16 nella maniera sbagliata.

Murphy pronunciò la prima versione della sua storica frase, che fu riportata dal soggetto del test (il maggiore John Paul Stapp) a una conferenza stampa pochi giorni più tardi.

In pochi mesi "La Legge di Murphy" si diffuse in tutti gli ambienti dell'ingegneria aerospaziale. Furono prodotte molte varianti. La maggior parte sono variazioni del genere "Se qualcosa può andare storto allora lo farà"; questa è qualche volta conosciuta come legge di Finagle o legge di Sod. Un'altra famosa applicazione è alla probabilità domestica: "La probabilità che una fetta di pane imburrata cada dalla parte del burro verso il basso su un tappeto nuovo è proporzionale al valore di quel tappeto."

Il commento di O'Toole alla "legge di Murphy" è "Murphy era un ottimista".

UN 353MP10 - il teorema di May -

Il teorema di Kenneth May è un importante contributo alla teoria della scelta sociale. Il teorema dichiara che poichè la scelta del gruppo deve dipendere solamente dalle preferenze possibili all'interno di un insieme di alternative, un modello della scelta del gruppo può essere sviluppato se conosciamo la preferenza del gruppo per ogni coppia di alternative.

Il sistema di voto per maggioranza semplice è un esempio di regola di scelta sociale: un mappaggio che associa una lista di scelte individuali con il risultante esito. Formalmente, il sistema di voto per maggioranza semplice assegna +1 se e solo se

N₊₁(d₁, d₂, ..., d_n) > ½[N₊₁(d₁, d₂, ..., d_n) + N₋₁(d₁, d₂, .., d_n)].

O in altre parole: la scelta vincitrice è quella per cui il numero di voti è maggiore della metà del numero di individui che non sono indifferenti tra le due scelte, ovvero che votano. Questo è in contrasto con il sistema di voto a maggioranza assoluta, dove la vincitrice è l'opzione che raccoglie più della metà dei voti. O formalmente, il sistema di voto per maggioranza assoluta assegna +1 se e solo se:

N₊₁(d₁, d₂, .., d_n) > n/2.

La differenza è chiarificata dal significato di questo esempio. Supponiamo D = (+1, +1, +1, 0, 0, −1, −1), la distribuzione dei voti. Applicando semplicemente il sistema di voto maggioritario abbiamo +1 come opzione vincente, applicando il sistema della maggioranza assoluta otteniamo 0, con l'indifferenza tra le opzioni.

UN 353MP10 - l'analisi complessa -

Con analisi complessa si intende tutta la teoria riguardante le funzioni complesse, comprendendo con esse a partire dalle successioni complesse, di limite, continuità, e i concetti di derivata, differenziale, integrale, serie numeriche e serie di funzioni complesse. Essendo il campo dei numeri complessi uno spazio vettoriale, metrico, euclideo, normato, per esso valgono tutti i concetti sopra detti; dunque, lo sviluppo di questo argomento richiede necessariamente la conoscenza dei concetti sviluppati dall'analisi reale di una e di due variabili reali.

f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

Ricordiamo che x rappresenta la parte reale di z e y la parte immaginaria. In questo modo ogni numero sommato a x è una traslazione del punto z sul piano complesso, mentre ogni numero reale sommato a y è una rotazione. Infine il complesso coniugato del punto z non nullo è una riflessione rispetto all'asse reale.